miércoles, 31 de julio de 2013

1188 - Un problema español

Rafael Cerezo, un conocido por todos los que frecuentan este blog, me mandó este interesante problema:

En Radio Nacional de España, cada 15 días los sábados dentro de un programa que se llama "No es un día cualquiera" hablan a las 11:05 sobre matemáticas. Pusieron un reto que era hallar un número de 100 cifras, sin utilizar el 0 que fuera divisible por la suma de sus cifras.

Obviamente que hay muchas soluciones y diferentes formas de resolverlo. Que lo disfruten



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8 comentarios:

  1. Lo mas facil se me ocurre: Cualquier numero que termine en 125 es divisible por 125, por lo tanto tenemos que cualquier número de 100 cifras, que termine en 125 y las otras 97 cifras sumen 117 sin que tenga 0 sirve.Tratare de calcular cuantos números diferentes puede existir con esta caracteristica. Tiene que tener como mínimo 77 unos. Los otros 20 digitos que faltan deben sumar 40.

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    1. Muy bien Pablo, lo interesante de este problema es que tiene muchas soluciones, la que yo encontré es distinta, y la de Rafael es otra. si no aparecen, las pondré en los comentarios
      Lo de buscar cuantas soluciones de cada tipo hay , suena interesante

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    2. Son muchisimas combinaciones, empece por la de 20 dos, y fui disminuyendo el número de dos, por ahora llegue a 13 dos, puede ser con 6 unos y 1 ocho, ; 5 unos 1 seis y 1 tres; 5 unos 1 cinco y 1 cuatro; 4 unos dos tres y 1 cuatro. Pero claro recien voy por ver como se forman los 20 digitos, despues hay que calcular para cada caso las combinaciones posibles, es titánico, creo que no podre hacerlo

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  2. El mayor que encuentro:
    9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996132
    El menor:
    1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111122

    Vicente iq.

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  3. Claudio, después de indicarte la solución se me ocurrió la que dice Pablo, que también, siendo múltiplo de 125 puede ser:
    Terminado en 375-->84*1+13*2+3+7+5.
    Terminado en 625-->82*1+15*2+6+2+5
    Terminado en 875-->89*1+8*2+8+7+5

    La que te indiqué la diremos más adelante.

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  4. He intentado hallar una solución algebraica a un caso reducido de utilizar solo 2 dígitos distintos en 2 grupos, siendo uno de los dígitos el 1. O sea, un nº de la forma:
    1111...111nnnnn....nnnnnn

    la fórmula para expresar un nº de unos seguidos es:

    (10^k-1)/9
    donde "k" es el nº de unos que queremos tener.
    La fórmula para expresar un nº formado por varias "n" es:
    n (10^j-1)/9
    donde "j" es la cantidad de "n" que tiene el nº.

    Ejemplo:
    El nº 11111444 se puede formular como:
    10^3(10^5-1)/9 + 4(10^3-1)/9
    La fórmula general es:
    10^j(10^k-1)/9 + n(10^j-1)/9
    Este es el nº general que debe ser divisible por la suma de sus dígitos:
    k + n j
    Las restricciones a aplicar son:
    10>n>0
    k>0
    j>0
    k+j=100

    Solo hay 5 soluciones que se encuentran fácilmente:
    n k j
    a)2 98 2 (98 unos seguidos de 2 doses)
    b)2 53 47 (53 unos seguido de 47 doses)
    c)2 2 98 (2 unos seguidos de 98 doses)
    d)4 38 62 (38 unos seguidos de 62 cuatros)
    e)8 86 14 (86 unos seguidos de 14 ochos).

    Vicente iq.










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  5. Indicaré la solución que dieron en la radio.
    99 unos y 1 cero (11...11110) es múltiplo de 111, si se le suma 444 (que también lo es) obtenemos 97 unos y 554 (11...11554), que sumados dan 97+5+5+4=111.

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    1. Lo del 444 parece que ha salido por tanteo.
      Pero me parece una forma fácil de obtener una solución.

      Yo dí como resultado mínimo 98 unos y 2 doses. O sea, a 100 unos le sumamos 11. Lo encontré por tanteo.

      Vicente iq.

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