jueves, 27 de agosto de 2015

1412 - Sumas y restas pandigitales

Existen cientos de ejemplos de sumas y restas hechas con dos mismos números tal que dichos resultados tienen cada uno de los dígitos exactamente una vez.
En el siguiente cuadro vemos algunos ejemplos:


En estos ejemplos el número mayor es siempre múltiplo de 9, la pregunta es 
¿Habrá soluciones en las que el término mayor no sea múltiplo de 9?
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4 comentarios:

  1. No hay ninguno que no sea múltiplo de 9.

    Se pueden comprobar todas las soluciones sin demasiado trabajo teniendo en cuenta lo siguiente:
    De las ecuaciones
    a+b=s
    a-b=r

    se deduce que, dada la suma y la resta de 2 números podemos obtener los 2 números originales con a=(s+r)/2 y b=(s-r)/2
    Ahora podemos formar todas las sumas y restas posibles que contengan los 10 dígitos (por ejemplo con todas las permutaciones posibles de los 10 dígitos) y calculando si el número 'a' es múltiplo de 9.

    Vicente iq.

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  2. Yo creo que no hay ninguno que no sea múltiplo de 9.

    Una de las formas para saber si un número n es múltiplo de 9 es sumar sus dígitos y ver si este número es múltiplo de 9.
    123456789 es múltiplo de 9 porque sus dígitos suman 45, que es múltiplo de 9

    aún dividiendo 123456789 en 2 números a y b, la suma de dígitos se mantiene. Es decir, si la suma de dígitos de a es d(a) y la de b es d(b), la suma de dígitos de n = a+b es d(n) = d(a) + d(b).

    siguiendo con lo que comenta Vicente, a=(s+r)/2 y b = (s-r)/2, aunque nos interesa solo a

    s y r, juntos, tienen todos los dígitos 123456789, así pues d(s) + d(r), cuales quiera que sean r y s, será 45, que es múltiplo de 9 y por lo tanto a será múltiplo de 9


    r = 12345 d(r) = 15
    s= 6789 d(s) = 30

    d(r)+d(s) = 15+30 = 45, múltiplo de 9


    r = 52489 d(r) = 28
    s= 3176 d(s) = 17

    d(r)+d(s) = 28+17 = 45, múltiplo de 9

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    Respuestas
    1. Por lo que tanto el mayor como el menor deben ser múltiplos de 9.

      Vicente iq.

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    2. perdón, no. solo el primero que es la suma de s+r.
      Vicente iq.

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